Handwerkszeug fürs Mathematische Beweisen


Hier stelle ich eine Methode vor, um mathematische Beweise erstellen und verstehen zu können.

Beweise sind oft in mathematischer Umgangssprache geführt, angereichert mit Formeln. Die Argumentation in den Beweisen lässt sich, wie gezeigt wird, auch formalisieren. Wir entwickeln ein praktisches Verfahren, mit dem diese Beweisstruktur formelhaft entwickelt werden kann. Dies ermöglicht, verschiede Argumentationsstrukturen präzise zu formulieren, in einander umzurechnen und so auch aus eigener Anschauung unterscheiden zu können, ob eine Argumentation wirklich einen Beweis darstellt, oder sich nur plausibel anhört. Wenn wir diese Zusammenhänge verstanden haben können wir den Beweis auch wieder umgangssprachlich aufschreiben und sind uns jetzt dabei der logischen Schlüssigkeit besser bewußt.

Zum Verständnis für den folgenden Text sind Grundkenntnisse in Aussagenlogik sinnvoll, es wird aber auch eine kurze Einführung gegeben.
Kern dieses Dokuments sind die Kapitel Beweismethoden und Umformungsregeln für Quantoren.

In Lehrbüchen die sich schwerpunktmässig mit mathematischer Logik beschäftigen, werden meist wenig Anleitungen zum konkreten Beweisen gegeben; dort ist es mehr das Ziel, die grundsätzlichen Möglichkeiten der Logiken zu untersuchen und dabei wird meist nur ein minimaler Satz von logischen Umformungsregeln betrachtet, der zum praktischen Beweisen ungünstig ist, weil die Beweise dann zu lang werden.

Hier versuche ich einen komfortableren Satz von Verfahren für Beweisschritte anzugeben. Ich versuche die Methoden anschaulich zu begründen, benutze aber oft nicht die formale Strenge, wie sie in Logik Lehrbüchern benutzt wird.

Inhalt:
Kurzeinführung: Aussagenlogik
Hauptteil: Beweismethoden    Umformung für Quantoren
Formelsammlung: Aussagenlogik Prädikatenlogik Mengenlehre Funktionen Ordnungsrelationen