Ordnungsrelationen

schreibweise (O,≤); reflexiv (O,<); irreflexiv
alt. relation a<b :↔ a≤b ∧ a¬=b (1) a≤b :↔ a<b ∨ a=b (2)
(halb)ordnung ho(O) a≤a
a≤b∧b≤a→a=b
a≤b∧b≤c→a≤c
¬a<a
a<b∧b<c→a<c
totalordnung tg(O) ho + a ≤b ∨ b≤a ho+ a<b∨b>a∨a=b
wohlordnung wo(O) to + ∀M⊆O:hme(M)
(rho(≤) ∧ (1)) ⇔ (iho(<) ∧ (2)), ebenso mit to
Teilmengen von ho/to sind auch ho/to. Im folgenden ho(O,≤); M⊆O; Quantoren über O
abkürzung x≤M:⇔∀a∊M:a≤x x<M:⇔∀a∊M:a<x
kl. element ke(M,m) m∊M∧m≤M m∊M∧∀x∊M:m<a∨m=x
gr. element ge(M,m) m∊M∧M≤m m∊M∧∀x∊M:x<m∨x=m
minimales element ie(M,m) m∊M∧∀x∊M:x≤m→x=m m∊M∧¬∃x∊M:x<m
maximales element xe(M,m) m∊M∧∀x∊M:m≤x→m=x m∊M∧¬∃x∊M:m<x
unt. schranke lb(M,b) b≤M ∀x∊M:b<x∨b=x
ob. schranke ub(M,b) M≤b ∀x∊M:x<b∨x=b
infimum inf(M,i) i≤M∧(∀z:z≤M→z≤i) < = grösste untere schranke
supremum sup(M,s) M≤s∧(∀z:M≤z→i≤z) < = kleinste obere schranke

ho ⇒ (to ⇔  ∀a,b:a≤b↔¬b<a);  
ke,ge,inf,sup sind im Fall der Existenz eindeutig bestimmt. Schreibweise:  m=min(M); m=max(M); m=inf(M); m=sup(M)
abk:.  hub(M) = ∃b:ub(M,b) usw.  ubs(M) = {b:ub(M,b)}

ke(M,a)∧ke(M,b) ⇒ a=b ge(M,a)∧ge(M,b) ⇒ a=b
ke(M,a)∧ie(M,b) ⇒ a=b ge(M,a)∧xe(M,b) ⇒ a=b
inf(M,a)∧inf(M,b) ⇒ a=b sup(M,a)∧sup(M,b) ⇒ a=b
ke(M,i) ⇒ ie(M,i) ge(M,i) ⇒ xe(M,i)
ke(M,i) ⇒ inf(M,i) ⇒ lb(M,i) ge(M,s) ⇒ sup(M,s) ⇒ ub(M,s)
inf(M,i)∧i∊M ⇔ ke(M,i) sup(M,i)∧i∊M ⇔ ge(M,i)
lb(M,i)∧i∊M ⇔ ke(M,i) ub(M,i)∧i∊M ⇔ ge(M,i)
inf(M) = max(lbs(M)) = sup(lbs(M)) sup(M) = min(ubs(M)) = inf(ubs(M))
tg(M)⇒  (ke(M,m) ⇔ ie(M,m)) tg(M)⇒ (ge(M,m) ⇔ xe(M,m))
endl(M) ⇒ hie(M) ∧ hxe(M) endl(M)∧tg(M) ⇒ hke(M) ∧ hge(M)
hke(O)∧hge(O) ⇒ (∀M:hinf(M))↔(∀M:hsup(M))
M≠∅⇒ ∃T⊆M:tg(T)∧∀U⊆M:T⊂U→¬tg(U)
M≠∅∧∀T⊆M:tg(T)→hlb(T) ⇒ hie(M) M≠∅∧∀T⊆M:tg(T)→hub(T) ⇒ hxe(M)
A⊆B ⇒ inf(B) ≤ inf(A) A⊆B ⇒ sup(A) ≤ sup(B)
inf {inf m|m∊M} = inf ⋃M sup {sup m|m∊M} = sup ⋃M
a≤b ⇔ inf {a,b}=a ⇔ sup{a,b}=b jeweis wenn inf,sup existieren
Im Teilmengenverband (Pot(A),⊆) ist ⋂M=inf(M) und ⋃M=sup(M)
(∏iOi,≤) mit a≤b :↔ ∀i∊I:pri(a)≤ipri(b) ist ordnung;

für nicht-ordnungs-relationen:  ke(M,x):⇔ x∊M∧∀z∊M:z≠x→xRz;   ie(M,x) wie oben